Родился 21 февраля 1910 года в городе Двинске Витебской губернии. В возрасте 5 лет он вместе с родителями переехал в небольшой городок Бежун Тверской губернии, где прошли его детские и юношеские годы. После окончания средней школы, в 1927 году, он был зачислен в Первый Ленинградский медицинский институт. После окончания института, в 1931 году Борис Иосифович был направлен на работу в Уральскую область, где активно трудился в качестве санитарного врача на новостройках Нижнего Тагила.
В Молотовском медицинском институте, куда он был приглашен на должность ассистента кафедры микробиологии, под руководством профессора А.В. Пшеничнова он выполнил и успешно защитил в 1942 году кандидатскую диссертацию на тему «Экспериментальные и эпидемиологические наблюдения над периодом инкубации при сыпном тифе». Благодаря совместной работе А.В. Пшеничнова и Б.И. Райхера был разработан новый оригинальный метод кормления и заражения кровососущих насекомых в условиях лаборатории (метод эпидермомембран), а впоследствии была разработана вакцина против сыпного тифа, получившая название - вакцина Пшеничнова-Райхера. Эта работа была удостоена Сталинской премии. В 1947 г., после защиты докторской диссертации на тему «Материалы к учению о сыпном тифе» он был официально утвержден в должности заведующего кафедрой эпидемиологии, которой заведовал с 1943 по 1956 год, получил звание профессора и был награжден медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной Войне».
Благодаря энергии и выдающимся организаторским способностям профессора Б.И. Райхера, на кафедре в относительно короткие сроки была налажена полноценная учебно-воспитательная работа. Бориса Иосифовича по праву можно считать основоположником кафедры эпидемиологии. Он всегда проявлял заботу о подготовке высококвалифицированных кадров, уделяя внимание работе студенческого научного кружка и научного общества эпидемиологов, микробиологов и инфекционистов, поощрял систематическую научно-исследовательскую работу преподавателей, добивался возможности организации аспирантуры при кафедре для подготовки собственных кадров.
К сожалению, жизнь Бориса Иосифовича оборвалась внезапно, на 47 году жизни, на самом пике его творческого развития.
Похоронен на Егошихинском кладбище у Всехсвятской церкви, вход с ул. Тихой, по аллее около 50 м и свернуть налево в сторону церкви.